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<!DOCTYPE html>

<title>Dichteste Kugelpackung</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Dichteste Kugelpackung</span></h1>

</header>

</div>

<p>Die <b>dichteste Kugelpackung</b> ist diejenige <a href="Geometrie" title="Geometrie">gegenseitige</a> Anordnung gleich großer <a href="Kugel" title="Kugel">Kugeln</a>, die den kleinsten Raum beansprucht. Der leere Raum zwischen den dichtest gepackten Kugeln nimmt nur etwa 26 % des Gesamtraumes ein, bzw. die <a href="Packungsdichte_(Kristallographie)" title="Packungsdichte (Kristallographie)">Packungsdichte</a> beträgt etwa <a href="Packungsdichte_(Kristallographie)#Kubisch_flächenzentrierte_Packung" title="Packungsdichte (Kristallographie)">74 %</a>:<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

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<p>Diese Anordnung besteht aus ebenen Schichten aus sich berührenden Kugeln, von denen jede von sechs benachbarten Kugeln und von je drei Kugeln aus der Schicht darüber und aus der darunter berührt wird,<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>, (<a href="Kusszahl" title="Kusszahl">Kusszahl</a> = 12). Die darin enthaltenen Schichten werden als <i><a href="Sechseck" title="Sechseck">hexagonale</a> (regelmäßig sechseckige) Kugel-Schichten</i> bezeichnet. Die Schichten oberhalb und unterhalb der mittleren können aufeinander projiziert gleich liegen oder gegeneinander verschoben sein, Schichtenfolge <b>ABA</b> oder <b>ABC</b>.

</p><p>Nur für den Fall einer regelmäßigen periodischen Schichtenfolge <b>ABCABC...</b> kann man in der Packung schräg liegende <i><a href="Quadrat" title="Quadrat">tetragonale</a> (quadratische) Kugel-Schichten</i> identifizieren, in denen jede Kugel von vier benachbarten Kugeln und von je vier Kugeln aus der Schicht darüber und aus der darunter berührt wird. In dieser Weise lassen sich kugelförmige Gegenstände, z. B. Obst, pyramidenförmig auf einer rechteckigen Unterlage aufschichten. Nur die Ränder der untersten Schicht müssen dabei gegen Wegrollen gesichert werden.

</p><p>Die erste Beschreibung ist die allgemeinere und deswegen die bevorzugt gebrauchte.

</p><p>Das Problem geht auf <a href="Sir_Walter_Raleigh" class="mw-redirect" title="Sir Walter Raleigh">Sir Walter Raleigh</a> zurück, der die Frage stellte, wie Kanonenkugeln in<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> einem Schiff am dichtesten gestapelt werden könnten (siehe auch nebenstehendes Bild). 1611 äußerte <a href="Johannes_Kepler" title="Johannes Kepler">Johannes Kepler</a> die <a href="Keplersche_Vermutung" title="Keplersche Vermutung">Vermutung</a>, dass dichteste Kugelpackungen in <a href="Kubisches_Kristallsystem" title="Kubisches Kristallsystem">kubisch-flächenzentrierten</a> und in <a href="Hexagonales_Kristallsystem" title="Hexagonales Kristallsystem">hexagonalen</a> Kristallsystemen vorlägen. <a href="Carl_Friedrich_Gau%C3%9F" title="Carl Friedrich Gauß">Carl Friedrich Gauß</a> bewies 1831 die Richtigkeit dieser Vermutung.<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> 1998 legte der amerikanische Mathematiker <a href="Thomas_Hales" title="Thomas Hales">Thomas Hales</a> einen <a href="Computerbeweis" class="mw-redirect" title="Computerbeweis">Computerbeweis</a> vor, dass diese beiden Anordnungen die einzigen mit dichtester Kugelpackung sind. Wie alle Computerbeweise wurde auch diese Arbeit damals nicht von allen Teilen der mathematischen Fachwelt anerkannt.<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> 2017 erfolgte schließlich die Publikation des formalen Beweises.<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Unter dichtester Kugelpackung wird die Packungsdichte in einer Anordnung von unendlich vielen Kugeln verstanden. Endlich viele Kugeln weisen deren Wert auch auf, wenn die äußeren Kugeln nur zum Teil mitgezählt werden. Die Grenze des betrachteten Bruttoraumes führt durch die Mittelpunkte dieser Kugeln. In der <a href="Theorie_der_endlichen_Kugelpackungen" title="Theorie der endlichen Kugelpackungen">Theorie der endlichen Kugelpackungen</a> ist der Bruttoraum größer. Die ihn bildende Hülle (z. B. ein Sack für kugelförmige Güter) enthält die äußeren Kugeln in Gänze.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Schichtfolgen">Schichtfolgen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Hexagonale_Schichten">Hexagonale Schichten</h3></div>

<p>In einer hexagonalen Kugelschicht ist jede Kugel außer von sechs Kugeln auch von sechs Lücken umgeben. Eine auf eine erste Kugelschicht <b>A</b> (s. nebenstehende Abbildung) gelegte zweite Kugelschicht benötigt drei der sechs Lücken zum „Einrasten“. Dabei bestehen zwei Möglichkeiten: Einrasten in die weiß markierten oder in die schwarz markierten Lücken in der Schicht A. In einem Fall (weiße Lücken) wird die aufgelegte Schicht als eine <b>B</b>-Schicht, im anderen Fall (schwarze Lücken) als eine <b>C</b>-Schicht bezeichnet (Bezeichnungen A, B und C sind die in der <a href="Kristallographie" title="Kristallographie">Kristallographie</a> üblichen). Die dritte Kugelschicht hat zum Einrasten in die zweite wiederum zwei Möglichkeiten: Rastet sie so ein, dass sie über der untersten Schicht zu liegen kommt, wird sie wie diese als eine <b>A</b>-Schicht bezeichnet. Wenn sie die zweite Möglichkeit des Einrastens nutzt, nimmt sie eine dritte Lage ein und wird als eine <b>C</b>-Schicht bezeichnet.

</p>

<p>Die Stapelfolge ist prinzipiell unendlich vielfältig. Praktische Bedeutung (Kristallographie) haben aber fast ausschließlich nur die sich nach zwei bzw. drei verschiedenen Schichtlagen fortwährend wiederholenden Stapel. Sie werden als Schichtlagenfolgen ABAB… bzw. ABCABC… bezeichnet. Die Schichtenfolge ABAB… ist das Ergebnis davon, dass grundsätzlich erst die übernächste (dritte) hexagonale Kugelschicht fluchtend über der ersten liegen kann. Die Schichtenfolge ABCABC… folgt der Tatsache, dass wenn nicht die übernächste (dritte) über der ersten Schicht fluchtend liegt, so aber die überübernächste (vierte) Schicht fluchtend über der ersten liegen muss.<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Abgesehen davon kann das Stapeln in beliebiger Lege-Reihenfolge fortgesetzt sein; die Schichten müssen nur gegenseitig „einrasten“, damit der Wert der Packungsdichte ca. 74,05 % ist.

</p><p>Ein wichtiger Unterschied zwischen ABCABC-Schichtung und anderen Schichtungen liegt in der Regelmäßigkeit und Symmetrie der entstehenden Struktur. Bei ABCABC-Schichtenfolge werden vier unterschiedliche hexagonale Kugelschichtebenen gebildet (drei zusätzlich zu der ursprünglich betrachteten), welche im Winkel ca. 70,53° zueinander im dreidimensional Raum stehen. Außerdem werden drei tetragonale (quadratische) Kugelschichtebenen gebildet, die im 90°-Winkel zueinander stehen. Der Winkel zwischen einer beliebigen tetragonalen und einer beliebigen hexagonalen Kugelschichtebene beträgt ca. 54,74°. Die verschiedenen Ebenen sind beim Polyeder <a href="Oktaederstumpf" title="Oktaederstumpf">Oktaederstumpf</a> gut zu erkennen. Diese Vielzahl der Schichtungsebenen hat die Konsequenz, dass die Struktur von unterschiedlichen Betrachtungswinkeln identisch aussieht (genau wie der Oktaederstumpf). Andere Schichtungsfolgen haben diese Eigenschaften nicht oder nur teilweise.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Quadratische_Schichten">Quadratische Schichten</h3></div>

<p>In quadratischen Schichten ist jede Kugel von vier Lücken umgeben. Da eine aufgelegte Schicht alle vier Lücken zum Einrasten benötigt, gibt es nur einen einzigen Schichtfolgen-Typ und auch nur die kubisch-flächenzentrierte Elementarzelle, aus denen der Stapelaufbau ebenfalls vorstellbar ist. Eine dieser Elementarzellen erstreckt sich über drei kubisch-flächenzentrierte Elementarzellen.

</p><p>Die oben abgebildete Pyramide aus Kanonenkugeln mit rechteckigem Grundriss ist eine Stapelfolge quadratischer Kugelschichten. In der Kristallographie wird nicht mit quadratischen Schichten gearbeitet, denn schräg durch einen Stapel aus hexagonalen Kugelschichten mit der Schichtfolge ABCABC erstrecken sich quadratische Schichten, in denen die kubisch-flächenzentrierte Elementarzelle erkennbar ist.<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Naturwissenschaftliche_Bedeutung">Naturwissenschaftliche Bedeutung</h2></div>

<p>Die Anordnung von Atomen in einer dichtesten Kugelpackung entspricht einem wichtigen Grundprinzip bei der Bildung von Kristallen:

Bei der Zusammensetzung der Materie aus ihren kleinsten Teilen (Atome, Moleküle und größere) gilt das Prinzip der Minimierung des Volumens. Die kleinsten Teile bilden zusammen dichteste Kugelpackungen. Dabei spricht man auch dann von einer dichtesten Kugelpackung, wenn die Teilchen nicht exakt auf den theoretisch vorgegebenen Positionen liegen. Enthaltene kleine Baufehler werden <a href="Stapelfehler" title="Stapelfehler">Stapelfehler</a> genannt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Einatomige_Systeme">Einatomige Systeme</h3></div>

<p>Dabei handelt es sich um die in Kristallform existierenden reinen Metalle.

</p><p>Die <b>hexagonal dichteste Kugelpackung</b> (<b>hcp</b> (engl. hexagonal close-packed), Schichtfolge ABABAB…) wird auch <a href="Magnesium" title="Magnesium">Magnesium</a>-Typ genannt. Es kristallisieren <a href="Beryllium" title="Beryllium">Beryllium</a>, Magnesium, die Elemente der Gruppe 3 (<a href="Scandium" title="Scandium">Scandium</a>, <a href="Yttrium" title="Yttrium">Yttrium</a>, <a href="Lanthan" title="Lanthan">Lanthan</a>) und die Gruppe 4 (<a href="Titan_(Element)" title="Titan (Element)">Titan</a>, <a href="Zirconium" title="Zirconium">Zirconium</a>, <a href="Hafnium" title="Hafnium">Hafnium</a>), <a href="Technetium" title="Technetium">Technetium</a>, <a href="Rhenium" title="Rhenium">Rhenium</a>, <a href="Ruthenium" title="Ruthenium">Ruthenium</a>, <a href="Cobalt" title="Cobalt">Cobalt</a>, <a href="Zink" title="Zink">Zink</a>, <a href="Cadmium" title="Cadmium">Cadmium</a> und <a href="Thallium" title="Thallium">Thallium</a> in diesem Strukturtyp.

</p><p>Die <b>kubisch dichteste Kugelpackung</b> (<b>ccp</b> (engl. cubic closed packed), Schichtfolge ABCABC…) wird auch <a href="Kupfer" title="Kupfer">Kupfer</a>-Typ genannt. Neben Kupfer kristallisieren <a href="Calcium" title="Calcium">Calcium</a>, <a href="Strontium" title="Strontium">Strontium</a>, <a href="Nickel" title="Nickel">Nickel</a>, <a href="Rhodium" title="Rhodium">Rhodium</a>, <a href="Iridium" title="Iridium">Iridium</a>, <a href="Palladium" title="Palladium">Palladium</a>, <a href="Platin" title="Platin">Platin</a>, <a href="Silber" title="Silber">Silber</a>, <a href="Gold" title="Gold">Gold</a>, <a href="Aluminium" title="Aluminium">Aluminium</a> und <a href="Blei" title="Blei">Blei</a> in diesem Strukturtyp.

</p><p>Insbesondere die leichteren <a href="Lanthanoide" title="Lanthanoide">Lanthanoide</a> und schwerere <a href="Actinoide" title="Actinoide">Actinoide</a> liegen bei Standardbedingungen in einer Mischform vor (Schichtfolge ABACABAC…). Diese hat dieselbe Raumgruppe wie die hcp-Struktur, aber mit vier Atomen in der Elementarzelle, und zwar auf (0,0,0) / (0,0,1/2) (<a href="Wyckoff-Position" class="mw-redirect" title="Wyckoff-Position">Wyckoff-Position</a> 2a) und (1/3,2/3,3/4) / (2/3,1/3,1/4) (Wyckoff-Position 2d). Sie wird daher auch <i>double hexagonal closest packed</i> (dhcp)-Struktur genannt. <a href="Praseodym" title="Praseodym">Praseodym</a> oder <a href="Curium" title="Curium">Curium</a> sind Elemente, die in diesem Strukturtyp kristallisieren.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mehratomige_Systeme">Mehratomige Systeme</h3></div>

<p>Viele Kristallstrukturen mit überwiegend <a href="Ionische_Bindung" title="Ionische Bindung">ionischem Bindungstyp</a> beruhen auf einer dichtesten Kugelpackung eines Teils der Ionen und der Einlagerung der anderen Ionen in den Lücken. Sind diese Einlagerungsionen zu groß für die Lücke, wird die Kugelpackung entsprechend deformiert. Die Art und das Ausmaß dieser Deformation hängen dabei von dem Größenverhältnis der Gerüstionen zu den Einlagerungsionen ab. Für einige Stöchiometrien gibt es Beziehungen, um aus den Ionenradien sogenannte Toleranzfaktoren zu berechnen. Anhand dieser Toleranzfaktoren kann man Vorhersagen über die Struktur und Verhalten des jeweiligen Systems ableiten. Ein bekanntes Beispiel dafür ist die <a href="Perowskit-Supergruppe#Kristallstruktur" title="Perowskit-Supergruppe">Perowskit-Struktur</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Polytype">Polytype</h3></div>

<p>Als <a href="Polytypie" title="Polytypie">Polytype</a> werden Kristalle bezeichnet, die eine Stapelfolge mit langer Wiederholungseinheit besitzen. Beispiele dafür sind <a href="Zinksulfid" title="Zinksulfid">Zinksulfid</a> (ZnS) mit mehr als 150 polytypen Formen und <a href="Siliciumcarbid" title="Siliciumcarbid">Siliciumcarbid</a> (SiC). Diese Polytype verfügen zum Teil über extrem große Gitterkonstanten. So hat das Polytyp von SiC mit der Bezeichnung 393R die Gitterkonstanten a = 3,079 Å und c = 989,6 Å.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Nicht-dichteste_Kugelpackungen">Nicht-dichteste Kugelpackungen</h2></div>

<p>Die kubisch innenzentrierte Kugelpackung (b.c.c., <i>body-centered cubic</i>) besteht aus zwei sich wiederholenden Schichten mit der Schichtfolge ABA… Das Koordinationspolyeder um die Atome ist ein Würfel (CN 8) und in etwas weiterer Entfernung ein weiteres Oktaeder (CN 6), so dass insgesamt die Koordinationszahl 8 + 6 folgt. Damit wird eine Raumerfüllung von 68,02 % erreicht. Dieser <a href="Strukturtyp" title="Strukturtyp">Strukturtyp</a> hat die Nummer A2 in den Strukturberichten und wird auch <a href="Wolfram" title="Wolfram">Wolfram</a>-Typ genannt. Es kristallisieren die <a href="Alkalimetalle" title="Alkalimetalle">Alkalimetalle</a>, <a href="Barium" title="Barium">Barium</a>, die Elemente der Gruppe 5 (<a href="Vanadium" title="Vanadium">Vanadium</a>, <a href="Niob" title="Niob">Niob</a>, <a href="Tantal" title="Tantal">Tantal</a>) und Gruppe 6 (<a href="Chrom" title="Chrom">Chrom</a>, <a href="Molybd%C3%A4n" title="Molybdän">Molybdän</a>, Wolfram) und <a href="Eisen" title="Eisen">Eisen</a> in diesem Strukturtyp.

</p><p>Die Elemente <a href="Mangan" title="Mangan">Mangan</a>, <a href="Quecksilber" title="Quecksilber">Quecksilber</a>, <a href="Gallium" title="Gallium">Gallium</a>, <a href="Germanium" title="Germanium">Germanium</a>, <a href="Indium" title="Indium">Indium</a>, <a href="Zinn" title="Zinn">Zinn</a>, <a href="Antimon" title="Antimon">Antimon</a> und <a href="Bismut" title="Bismut">Bismut</a> kristallisieren in einem eigenen Strukturtyp.

</p><p>Die regellos dichteste Packung (dichteste Zufallspackung, engl. <i>random close pack</i>) ist die empirisch gefundene dichteste Packung von zufällig gepackten Kugeln mit einer Raumerfüllung von circa 64 %.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Packungen_in_anderen_als_drei_Dimensionen">Packungen in anderen als drei Dimensionen</h2></div>

<p>In <b>zwei Dimensionen</b> ist die Entsprechung der Kugel ein Kreis. Bereits 1773 bewies <a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Joseph-Louis Lagrange</a>, dass die hexagonale Anordnung die dichteste Packung von Kreisen auf einem Gitter ist. Der allgemeinere Fall einer <a href="Kreispackung#Dichteste_Kreispackungen" title="Kreispackung">Kreispackung</a>, bei der für die Kreise beliebige Positionen möglich sind, gestaltet sich weit schwieriger. Der Beweis, dass auch unter diesen Umständen die hexagonale Anordnung die dichteste Packung ist, wurde 1942 von <a href="L%C3%A1szl%C3%B3_Fejes_T%C3%B3th" title="László Fejes Tóth">László Fejes Tóth</a> veröffentlicht, aufbauend auf Vorarbeiten von <a href="Axel_Thue" title="Axel Thue">Axel Thue</a>, <a href="Kurt_Mahler" title="Kurt Mahler">Kurt Mahler</a> und <a href="Beniamino_Segre" title="Beniamino Segre">Beniamino Segre</a>.<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite-bracket">[</span>11<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Der <b>dreidimensionale Fall</b> ist die inzwischen bewiesene <a href="Keplersche_Vermutung" title="Keplersche Vermutung">Kepler-Vermutung</a> (wobei den Fall von Gitterpackungen schon <a href="Carl_Friedrich_Gau%C3%9F" title="Carl Friedrich Gauß">Carl Friedrich Gauß</a> 1831 löste).

</p><p>In <b>höheren Dimensionen</b> ist das Problem weitgehend offen. Die dichtesten Gitterpackungen sind im euklidischen Raum bis zur Dimension d = 8 bekannt.<sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite-bracket">[</span>12<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Dabei bestimmten <a href="Alexander_Nikolajewitsch_Korkin" title="Alexander Nikolajewitsch Korkin">Alexander Nikolajewitsch Korkin</a> und <a href="Jegor_Iwanowitsch_Solotarjow" title="Jegor Iwanowitsch Solotarjow">Jegor Iwanowitsch Solotarjow</a><sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite-bracket">[</span>13<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-14" class="reference"><a href="#cite_note-14"><span class="cite-bracket">[</span>14<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> die dichtesten Gitterpackungen in den Dimensionen 4 und 5 und <a href="Hans_Blichfeldt" title="Hans Blichfeldt">Hans Blichfeldt</a> 1934 die Dimensionen 6, 7 und 8. Darüber hinaus ist fast nichts sicher bekannt. Das berühmte <a href="Leech-Gitter" title="Leech-Gitter">Leech-Gitter</a> in 24 Dimensionen und das E8-Gitter (benannt nach der exzeptionellen Liegruppe E8, dessen Wurzelsystem es ist) in 8 Dimensionen wurden häufig als dichteste Kugelpackung vermutet, insbesondere nach Entwicklung neuer oberer Schranken für dichteste Kugelpackungen durch <a href="Noam_Elkies" title="Noam Elkies">Noam Elkies</a> und Henry Cohn (2003). Dies bewahrheitete sich als 2016 <a href="Maryna_Viazovska" title="Maryna Viazovska">Maryna Viazovska</a> die Vermutung in 8 Dimensionen<sup id="cite_ref-15" class="reference"><a href="#cite_note-15"><span class="cite-bracket">[</span>15<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> und wenige Wochen später in Zusammenarbeit mit Cohn und drei weiteren Mitautoren auch für 24 Dimensionen beweisen konnte.<sup id="cite_ref-16" class="reference"><a href="#cite_note-16"><span class="cite-bracket">[</span>16<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-17" class="reference"><a href="#cite_note-17"><span class="cite-bracket">[</span>17<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Dichte Kugelpackungen in höheren Dimensionen haben große Bedeutung für die <a href="Kodierungstheorie" title="Kodierungstheorie">Kodierungstheorie</a> (fehlerkorrigierende Codes).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"></span></span></div><b><span class=""><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Highest_density_sphere_packing?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Dichteste Kugelpackung</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.iucr.org/education/pamphlets/5/full-text">Unterrichtsmaterial zum Thema dichteste Kugelpackung von der IUCr</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mhhe.com/physsci/chemistry/essentialchemistry/flash/sphere10.swf">Animation einer kubisch dichtesten Kugelpackung</a> (SWF-Datei; 391 kB)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/densest.html">Anzahl der dichtesten reguläre Kugelpackungen im Raum und Erklärung der Sm-Kristallstruktur</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.lead.ethz.ch/lernobj.php?id=14">Darstellung der hexagonalen und kubischen Kugelpackungen</a></li>

<li><a href="Edmund_Weitz" title="Edmund Weitz">Edmund Weitz</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=gVIEV0NDrdc">Die Keplersche Vermutung (Weihnachtsvorlesung 2019)</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Ch. Kittel: <cite style="font-style:italic">Einführung in die Festkörperphysik</cite>. 10. Auflage. Oldenbourg Verlag, München 1993, ISBN 3-486-22716-5.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Dichteste+Kugelpackung&rft.au=Ch.+Kittel&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+Festk%C3%B6rperphysik&rft.date=1993&rft.edition=10.&rft.genre=book&rft.isbn=3486227165&rft.place=M%C3%BCnchen&rft.pub=Oldenbourg+Verlag" style="display:none"> </span></li>

<li><a href="George_G._Szpiro" class="mw-redirect" title="George G. Szpiro">George G. Szpiro</a>: <cite style="font-style:italic">Die Keplersche Vermutung. Wie Mathematiker ein 400 Jahre altes Rätsel lösten</cite>. <a href="Springer_Science%2BBusiness_Media" title="Springer Science+Business Media">Springer</a>, Heidelberg [u. a.] 2011, ISBN 978-3-642-12740-3.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Dichteste+Kugelpackung&rft.au=George+G.+Szpiro&rft.btitle=Die+Keplersche+Vermutung.+Wie+Mathematiker+ein+400+Jahre+altes+R%C3%A4tsel+l%C3%B6sten&rft.date=2011&rft.genre=book&rft.isbn=9783642127403&rft.place=Heidelberg+%5Bu.+a.%5D&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></li>

<li>Catherine E. Houscraft, Alan G. Sharpe: <i>Anorganische Chemie.</i> 2. Auflage. Pearson Studium, München 2006, ISBN 3-8273-7192-9.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">te:c-science.com: <i>gemeinsame <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.tec-science.com/de/werkstofftechnik/aufbau-der-metalle/herleitung-der-packungsdichte/">Herleitung der Packungsdichte</a> für kubisch-flächenzentriertes und hexagonal dichtest gepacktes Gitter</i></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Siegfried Wetzel: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://swetzel.ch/geomgeb/kugelpack/kugelpack.html"><i>Dichteste Kugelpackung</i></a>; <i>8. Die kristallographischen Elementarzellen und ihre Packungsdichten</i>; getrennte Berechnung für kubisch-flächenzentrierte und hexagonale Elementarzelle</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Tóth, László Fejes: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://publikationsserver.tu-braunschweig.de/servlets/MCRFileNodeServlet/dbbs_derivate_00030669/Toth_Dichteste_Kugelpackung.pdf"><i>Dichteste Kugelpackung</i></a>, Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft Band 27, 1977, S. 319</span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">Siegfried Wetzel: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://swetzel.ch/geomgeb/kugelpack/kugelpack.html"><i>Dichteste Kugelpackung</i></a>; <i>2. Schichtweises Errichten von Pyramiden aus Kanonen- oder anderen Kugeln</i>, ff</span>

</li>

<li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text"><i>Gauß, Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadratischen Formen</i> von Ludwig August Seber, Göttingesche Gelehrte Anzeigen, 9. Juli 1831, Journal für Reine und Angewandte Mathematik, Band 20, 1840, S. 312–320, Gauß, Werke, Göttinger Akademie der Wissenschaften Band 2, 1876, S. 188–196</span>

</li>

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<li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text">Siegfried Wetzel: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://swetzel.ch/geomgeb/kugelpack/kugelpack.html"><i>Dichteste Kugelpackung</i></a>; 6. Die kubisch-flächenzentrierte Elementarzelle</span>

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Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4275490-2">4275490-2</a></span> </div>

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